3.416 \(\int \frac{c+d x+e x^2+f x^3+g x^4+h x^5}{(a+b x^3)^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=276 \[ -\frac{\log \left (a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2\right ) \left (\sqrt [3]{b} (a f+2 b c)-\sqrt [3]{a} (2 a g+b d)\right )}{18 a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{\log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right ) \left (\sqrt [3]{b} (a f+2 b c)-\sqrt [3]{a} (2 a g+b d)\right )}{9 a^{5/3} b^{5/3}}-\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt [3]{a}-2 \sqrt [3]{b} x}{\sqrt{3} \sqrt [3]{a}}\right ) \left (2 a^{4/3} g+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 b^{4/3} c\right )}{3 \sqrt{3} a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}+\frac{x \left (x (b d-a g)+x^2 (b e-a h)-a f+b c\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )} \]

[Out]

(x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*b^(4/3)*c + a^(1/3)*b*d + a*b^(1/3
)*f + 2*a^(4/3)*g)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(5/3)) + ((b^(1/3)*
(2*b*c + a*f) - a^(1/3)*(b*d + 2*a*g))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(9*a^(5/3)*b^(5/3)) - ((b^(1/3)*(2*b*c + a*f)
- a^(1/3)*(b*d + 2*a*g))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(18*a^(5/3)*b^(5/3)) + (h*Log[a + b*
x^3])/(3*b^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.369973, antiderivative size = 276, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 9, number of rules used = 9, integrand size = 35, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.257, Rules used = {1858, 1871, 1860, 31, 634, 617, 204, 628, 260} \[ -\frac{\log \left (a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2\right ) \left (\sqrt [3]{b} (a f+2 b c)-\sqrt [3]{a} (2 a g+b d)\right )}{18 a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{\log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right ) \left (\sqrt [3]{b} (a f+2 b c)-\sqrt [3]{a} (2 a g+b d)\right )}{9 a^{5/3} b^{5/3}}-\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt [3]{a}-2 \sqrt [3]{b} x}{\sqrt{3} \sqrt [3]{a}}\right ) \left (2 a^{4/3} g+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 b^{4/3} c\right )}{3 \sqrt{3} a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}+\frac{x \left (x (b d-a g)+x^2 (b e-a h)-a f+b c\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2,x]

[Out]

(x*(b*c - a*f + (b*d - a*g)*x + (b*e - a*h)*x^2))/(3*a*b*(a + b*x^3)) - ((2*b^(4/3)*c + a^(1/3)*b*d + a*b^(1/3
)*f + 2*a^(4/3)*g)*ArcTan[(a^(1/3) - 2*b^(1/3)*x)/(Sqrt[3]*a^(1/3))])/(3*Sqrt[3]*a^(5/3)*b^(5/3)) + ((b^(1/3)*
(2*b*c + a*f) - a^(1/3)*(b*d + 2*a*g))*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/(9*a^(5/3)*b^(5/3)) - ((b^(1/3)*(2*b*c + a*f)
- a^(1/3)*(b*d + 2*a*g))*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/(18*a^(5/3)*b^(5/3)) + (h*Log[a + b*
x^3])/(3*b^2)

Rule 1858

Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Module[{Q = PolynomialQuotient
[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x], R = PolynomialRemainder[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x
]}, Dist[1/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*ExpandToSum[a*n*(p + 1)*Q + n*(p +
1)*R + D[x*R, x], x], x], x] - Simp[(x*R*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)), x]] /; G
eQ[q, n]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

Rule 1871

Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
2]}, Int[(A + B*x)/(a + b*x^3), x] + Dist[C, Int[x^2/(a + b*x^3), x], x] /; EqQ[a*B^3 - b*A^3, 0] ||  !Ration
alQ[a/b]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

Rule 1860

Int[((A_) + (B_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 3]], s = Denominator[R
t[a/b, 3]]}, -Dist[(r*(B*r - A*s))/(3*a*s), Int[1/(r + s*x), x], x] + Dist[r/(3*a*s), Int[(r*(B*r + 2*A*s) + s
*(B*r - A*s)*x)/(r^2 - r*s*x + s^2*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && NeQ[a*B^3 - b*A^3, 0] && PosQ[a/
b]

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 634

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[(2*c*d - b*e)/(2*c), Int[1/(a +
b*x + c*x^2), x], x] + Dist[e/(2*c), Int[(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
& NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

Rule 617

Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = 1 - 4*Simplify[(a*c)/b^2]}, Dist[-2/b, Sub
st[Int[1/(q - x^2), x], x, 1 + (2*c*x)/b], x] /; RationalQ[q] && (EqQ[q^2, 1] ||  !RationalQ[b^2 - 4*a*c])] /;
FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 628

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(d*Log[RemoveContent[a + b*x +
c*x^2, x]])/b, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 260

Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x^n, x]]/(b*n), x] /; FreeQ
[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{c+d x+e x^2+f x^3+g x^4+h x^5}{\left (a+b x^3\right )^2} \, dx &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}-\frac{\int \frac{-b (2 b c+a f)-b (b d+2 a g) x-3 a b h x^2}{a+b x^3} \, dx}{3 a b^2}\\ &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}-\frac{\int \frac{-b (2 b c+a f)-b (b d+2 a g) x}{a+b x^3} \, dx}{3 a b^2}+\frac{h \int \frac{x^2}{a+b x^3} \, dx}{b}\\ &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}-\frac{\int \frac{\sqrt [3]{a} \left (-2 b^{4/3} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} b (b d+2 a g)\right )+\sqrt [3]{b} \left (b^{4/3} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} b (b d+2 a g)\right ) x}{a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2} \, dx}{9 a^{5/3} b^{7/3}}+\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \int \frac{1}{\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x} \, dx}{9 a^{5/3} b^{4/3}}\\ &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}+\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right )}{9 a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}+\frac{\left (2 b^{4/3} c+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 a^{4/3} g\right ) \int \frac{1}{a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2} \, dx}{6 a^{4/3} b^{4/3}}-\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \int \frac{-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b}+2 b^{2/3} x}{a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2} \, dx}{18 a^{5/3} b^{5/3}}\\ &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}+\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right )}{9 a^{5/3} b^{5/3}}-\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \log \left (a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2\right )}{18 a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}+\frac{\left (2 b^{4/3} c+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 a^{4/3} g\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-3-x^2} \, dx,x,1-\frac{2 \sqrt [3]{b} x}{\sqrt [3]{a}}\right )}{3 a^{5/3} b^{5/3}}\\ &=\frac{x \left (b c-a f+(b d-a g) x+(b e-a h) x^2\right )}{3 a b \left (a+b x^3\right )}-\frac{\left (2 b^{4/3} c+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 a^{4/3} g\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt [3]{a}-2 \sqrt [3]{b} x}{\sqrt{3} \sqrt [3]{a}}\right )}{3 \sqrt{3} a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right )}{9 a^{5/3} b^{5/3}}-\frac{\left (\sqrt [3]{b} (2 b c+a f)-\sqrt [3]{a} (b d+2 a g)\right ) \log \left (a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2\right )}{18 a^{5/3} b^{5/3}}+\frac{h \log \left (a+b x^3\right )}{3 b^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.17552, size = 268, normalized size = 0.97 \[ \frac{\frac{6 \left (a^2 h-a b (e+x (f+g x))+b^2 x (c+d x)\right )}{a \left (a+b x^3\right )}+\frac{\sqrt [3]{b} \log \left (a^{2/3}-\sqrt [3]{a} \sqrt [3]{b} x+b^{2/3} x^2\right ) \left (2 a^{4/3} g+\sqrt [3]{a} b d-a \sqrt [3]{b} f-2 b^{4/3} c\right )}{a^{5/3}}+\frac{2 \sqrt [3]{b} \log \left (\sqrt [3]{a}+\sqrt [3]{b} x\right ) \left (-2 a^{4/3} g-\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 b^{4/3} c\right )}{a^{5/3}}-\frac{2 \sqrt{3} \sqrt [3]{b} \tan ^{-1}\left (\frac{1-\frac{2 \sqrt [3]{b} x}{\sqrt [3]{a}}}{\sqrt{3}}\right ) \left (2 a^{4/3} g+\sqrt [3]{a} b d+a \sqrt [3]{b} f+2 b^{4/3} c\right )}{a^{5/3}}+6 h \log \left (a+b x^3\right )}{18 b^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3 + g*x^4 + h*x^5)/(a + b*x^3)^2,x]

[Out]

((6*(a^2*h + b^2*x*(c + d*x) - a*b*(e + x*(f + g*x))))/(a*(a + b*x^3)) - (2*Sqrt[3]*b^(1/3)*(2*b^(4/3)*c + a^(
1/3)*b*d + a*b^(1/3)*f + 2*a^(4/3)*g)*ArcTan[(1 - (2*b^(1/3)*x)/a^(1/3))/Sqrt[3]])/a^(5/3) + (2*b^(1/3)*(2*b^(
4/3)*c - a^(1/3)*b*d + a*b^(1/3)*f - 2*a^(4/3)*g)*Log[a^(1/3) + b^(1/3)*x])/a^(5/3) + (b^(1/3)*(-2*b^(4/3)*c +
a^(1/3)*b*d - a*b^(1/3)*f + 2*a^(4/3)*g)*Log[a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*x + b^(2/3)*x^2])/a^(5/3) + 6*h*Log[a
+ b*x^3])/(18*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.008, size = 462, normalized size = 1.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((h*x^5+g*x^4+f*x^3+e*x^2+d*x+c)/(b*x^3+a)^2,x)

[Out]

(-1/3*(a*g-b*d)/a/b*x^2-1/3*(a*f-b*c)/a/b*x+1/3*(a*h-b*e)/b^2)/(b*x^3+a)+1/9/b^2/(1/b*a)^(2/3)*ln(x+(1/b*a)^(1
/3))*f+2/9*c/a/b/(1/b*a)^(2/3)*ln(x+(1/b*a)^(1/3))-1/18/b^2/(1/b*a)^(2/3)*ln(x^2-(1/b*a)^(1/3)*x+(1/b*a)^(2/3)
)*f-1/9*c/a/b/(1/b*a)^(2/3)*ln(x^2-(1/b*a)^(1/3)*x+(1/b*a)^(2/3))+1/9/b^2/(1/b*a)^(2/3)*3^(1/2)*arctan(1/3*3^(
1/2)*(2/(1/b*a)^(1/3)*x-1))*f+2/9*c/a/b/(1/b*a)^(2/3)*3^(1/2)*arctan(1/3*3^(1/2)*(2/(1/b*a)^(1/3)*x-1))-2/9/b^
2/(1/b*a)^(1/3)*ln(x+(1/b*a)^(1/3))*g-1/9*d/a/b/(1/b*a)^(1/3)*ln(x+(1/b*a)^(1/3))+1/9/b^2/(1/b*a)^(1/3)*ln(x^2
-(1/b*a)^(1/3)*x+(1/b*a)^(2/3))*g+1/18*d/a/b/(1/b*a)^(1/3)*ln(x^2-(1/b*a)^(1/3)*x+(1/b*a)^(2/3))+2/9/b^2*3^(1/
2)/(1/b*a)^(1/3)*arctan(1/3*3^(1/2)*(2/(1/b*a)^(1/3)*x-1))*g+1/9*d/a*3^(1/2)/b/(1/b*a)^(1/3)*arctan(1/3*3^(1/2
)*(2/(1/b*a)^(1/3)*x-1))+1/3*h*ln(b*x^3+a)/b^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x^5+g*x^4+f*x^3+e*x^2+d*x+c)/(b*x^3+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 12.3701, size = 27752, normalized size = 100.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x^5+g*x^4+f*x^3+e*x^2+d*x+c)/(b*x^3+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/36*(12*a*b*e - 12*a^2*h - 12*(b^2*d - a*b*g)*x^2 + 2*(a*b^3*x^3 + a^2*b^2)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*
(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d
+ 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^
2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 -
2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b
^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2
*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*
f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3
- 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^
3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)*log(4*a*b^4*c*d^2 + 2*a^2*b^3*d^2*f + 1/4*(a^4*b^5*d + 2*a^5*
b^4*g)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2
)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*
c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)
/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*
b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3)
+ 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*
b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^
5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*
(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)^2 + 8*(2*a^3*b^2*c + a
^4*b*f)*g^2 + 9*(a^4*b*d + 2*a^5*g)*h^2 - 1/2*(4*a^2*b^5*c^2 + 4*a^3*b^4*c*f + a^4*b^3*f^2 - 6*(a^4*b^3*d + 2*
a^5*b^2*g)*h)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g
)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) +
(8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a
^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*
d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*s
qrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c
^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/
(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b
^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2) + 8*(2*a^2*b^3*
c*d + a^3*b^2*d*f)*g - 3*(4*a^2*b^3*c^2 + 4*a^3*b^2*c*f + a^4*b*f^2)*h + (8*b^5*c^3 + a*b^4*d^3 + 12*a*b^4*c^2
*f + 6*a^2*b^3*c*f^2 + a^3*b^2*f^3 + 6*a^2*b^3*d^2*g + 12*a^3*b^2*d*g^2 + 8*a^4*b*g^3)*x) - 12*(b^2*c - a*b*f)
*x - (18*a*b*h*x^3 + 18*a^2*h + (a*b^3*x^3 + a^2*b^2)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d
+ 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h
^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3
+ 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*
b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*
b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*
f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*
b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3
+ 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^
5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2) + 3*sqrt(1/3)*(a*b^3*x^3 + a^2*b^2)*sqrt(-((2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4
- (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b
*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^
2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 -
9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3
- 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9
*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*
b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h
)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2
*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)^2*a^3*b^4 + 12*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d
+ 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h
^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3
+ 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*
b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*
b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*
f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*
b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3
+ 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^
5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)*a^3*b^2*h + 32*b^3*c*d + 16*a*b^2*d*f + 36*a^3*h^2 + 32*(2*a*b^2*c + a^2*b*f)*g)/(a^3
*b^4)))*log(-4*a*b^4*c*d^2 - 2*a^2*b^3*d^2*f - 1/4*(a^4*b^5*d + 2*a^5*b^4*g)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(
9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d
+ 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2
*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2
*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^
3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*
b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f
^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3
- 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3
- 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)^2 - 8*(2*a^3*b^2*c + a^4*b*f)*g^2 - 9*(a^4*b*d + 2*a^5*g)*h^2
+ 1/2*(4*a^2*b^5*c^2 + 4*a^3*b^4*c*f + a^4*b^3*f^2 - 6*(a^4*b^3*d + 2*a^5*b^2*g)*h)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3)
+ 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b
^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f
+ 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*
h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)
*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d +
2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*
b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*
(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3
- (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2) - 8*(2*a^2*b^3*c*d + a^3*b^2*d*f)*g + 3*(4*a^2*b^3*c^2
+ 4*a^3*b^2*c*f + a^4*b*f^2)*h + 2*(8*b^5*c^3 + a*b^4*d^3 + 12*a*b^4*c^2*f + 6*a^2*b^3*c*f^2 + a^3*b^2*f^3 + 6
*a^2*b^3*d^2*g + 12*a^3*b^2*d*g^2 + 8*a^4*b*g^3)*x + 3/4*sqrt(1/3)*(8*a^2*b^5*c^2 + 8*a^3*b^4*c*f + 2*a^4*b^3*
f^2 + (a^4*b^5*d + 2*a^5*b^4*g)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*
h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b
^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12
*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h -
3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3)
+ (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a
^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d
*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2
- 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^
2) + 6*(a^4*b^3*d + 2*a^5*b^2*g)*h)*sqrt(-((2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f
*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f +
4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2
*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 +
36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b
^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*
a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g +
12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h
- 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/
3) - 6*h/b^2)^2*a^3*b^4 + 12*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2
+ (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)
*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^
3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(
4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (
1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*
b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^
2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 -
3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)*
a^3*b^2*h + 32*b^3*c*d + 16*a*b^2*d*f + 36*a^3*h^2 + 32*(2*a*b^2*c + a^2*b*f)*g)/(a^3*b^4))) - (18*a*b*h*x^3 +
18*a^2*h + (a*b^3*x^3 + a^2*b^2)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^
3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a
*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g +
12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h
- 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3
) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/
(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b
*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g
^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/
b^2) - 3*sqrt(1/3)*(a*b^3*x^3 + a^2*b^2)*sqrt(-((2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^
2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (
d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^
2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f
^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(
a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*
c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^
2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*
c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6)
)^(1/3) - 6*h/b^2)^2*a^3*b^4 + 12*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^
3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a
*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g +
12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h
- 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3
) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/
(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b
*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g
^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/
b^2)*a^3*b^2*h + 32*b^3*c*d + 16*a*b^2*d*f + 36*a^3*h^2 + 32*(2*a*b^2*c + a^2*b*f)*g)/(a^3*b^4)))*log(-4*a*b^4
*c*d^2 - 2*a^2*b^3*d^2*f - 1/4*(a^4*b^5*d + 2*a^5*b^4*g)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c
*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^
3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f
^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a
^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)
*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 +
(d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a
^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (
f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/
(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)^2 - 8*(2*a^3*b^2*c + a^4*b*f)*g^2 - 9*(a^4*b*d + 2*a^5*g)*h^2 + 1/2*(4*a^2*b^5*c^2
+ 4*a^3*b^4*c*f + a^4*b^3*f^2 - 6*(a^4*b^3*d + 2*a^5*b^2*g)*h)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (
2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g
+ 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 +
a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f
*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12
*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3
*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^
3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^
4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*
a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2) - 8*(2*a^2*b^3*c*d + a^3*b^2*d*f)*g + 3*(4*a^2*b^3*c^2 + 4*a^3*b^2*c*f + a^
4*b*f^2)*h + 2*(8*b^5*c^3 + a*b^4*d^3 + 12*a*b^4*c^2*f + 6*a^2*b^3*c*f^2 + a^3*b^2*f^3 + 6*a^2*b^3*d^2*g + 12*
a^3*b^2*d*g^2 + 8*a^4*b*g^3)*x - 3/4*sqrt(1/3)*(8*a^2*b^5*c^2 + 8*a^3*b^4*c*f + 2*a^4*b^3*f^2 + (a^4*b^5*d + 2
*a^5*b^4*g)*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*
a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8
*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4
*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)
*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqr
t(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3
+ a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a
^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2
- 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2) + 6*(a^4*b^3*d +
2*a^5*b^2*g)*h)*sqrt(-((2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*
f + 4*c*g)*a*b^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^
3*b^6) + (8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*
g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2
- 3*f*h)*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(
1/3)*(I*sqrt(3) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) +
(8*b^4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*
a^4*g^3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)
*d)*a^3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)^2*a^3*
b^4 + 12*(2*(1/2)^(2/3)*(-I*sqrt(3) + 1)*(9*h^2/b^4 - (2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b
^2)/(a^3*b^4))/(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^
4*c^3 + a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^
3)/(a^5*b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^
3*b^2 - 6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) + (1/2)^(1/3)*(I*sqrt(3
) + 1)*(54*h^3/b^6 - 9*(2*b^3*c*d + 2*a^2*b*f*g + 9*a^3*h^2 + (d*f + 4*c*g)*a*b^2)*h/(a^3*b^6) + (8*b^4*c^3 +
a*b^3*d^3 + 12*a*b^3*c^2*f + 6*a^2*b^2*c*f^2 + a^3*b*f^3 + 6*a^2*b^2*d^2*g + 12*a^3*b*d*g^2 + 8*a^4*g^3)/(a^5*
b^5) + (8*b^5*c^3 + 27*a^5*h^3 - 2*(4*g^3 - 9*f*g*h)*a^4*b + (f^3 + 36*c*g*h - 3*(4*g^2 - 3*f*h)*d)*a^3*b^2 -
6*(d^2*g - (f^2 + 3*d*h)*c)*a^2*b^3 - (d^3 - 12*c^2*f)*a*b^4)/(a^5*b^6))^(1/3) - 6*h/b^2)*a^3*b^2*h + 32*b^3*c
*d + 16*a*b^2*d*f + 36*a^3*h^2 + 32*(2*a*b^2*c + a^2*b*f)*g)/(a^3*b^4))))/(a*b^3*x^3 + a^2*b^2)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x**5+g*x**4+f*x**3+e*x**2+d*x+c)/(b*x**3+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.08394, size = 429, normalized size = 1.55 \begin{align*} \frac{h \log \left ({\left | b x^{3} + a \right |}\right )}{3 \, b^{2}} + \frac{{\left (b d - a g\right )} x^{2} +{\left (b c - a f\right )} x + \frac{a^{2} h - a b e}{b}}{3 \,{\left (b x^{3} + a\right )} a b} + \frac{\sqrt{3}{\left (2 \, \left (-a b^{2}\right )^{\frac{1}{3}} b^{2} c + \left (-a b^{2}\right )^{\frac{1}{3}} a b f - \left (-a b^{2}\right )^{\frac{2}{3}} b d - 2 \, \left (-a b^{2}\right )^{\frac{2}{3}} a g\right )} \arctan \left (\frac{\sqrt{3}{\left (2 \, x + \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}}\right )}}{3 \, \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}}}\right )}{9 \, a^{2} b^{3}} + \frac{{\left (2 \, \left (-a b^{2}\right )^{\frac{1}{3}} b^{2} c + \left (-a b^{2}\right )^{\frac{1}{3}} a b f + \left (-a b^{2}\right )^{\frac{2}{3}} b d + 2 \, \left (-a b^{2}\right )^{\frac{2}{3}} a g\right )} \log \left (x^{2} + x \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}} + \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{2}{3}}\right )}{18 \, a^{2} b^{3}} - \frac{{\left (a b^{3} d \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}} + 2 \, a^{2} b^{2} g \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}} + 2 \, a b^{3} c + a^{2} b^{2} f\right )} \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}} \log \left ({\left | x - \left (-\frac{a}{b}\right )^{\frac{1}{3}} \right |}\right )}{9 \, a^{3} b^{3}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x^5+g*x^4+f*x^3+e*x^2+d*x+c)/(b*x^3+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/3*h*log(abs(b*x^3 + a))/b^2 + 1/3*((b*d - a*g)*x^2 + (b*c - a*f)*x + (a^2*h - a*b*e)/b)/((b*x^3 + a)*a*b) +
1/9*sqrt(3)*(2*(-a*b^2)^(1/3)*b^2*c + (-a*b^2)^(1/3)*a*b*f - (-a*b^2)^(2/3)*b*d - 2*(-a*b^2)^(2/3)*a*g)*arctan
(1/3*sqrt(3)*(2*x + (-a/b)^(1/3))/(-a/b)^(1/3))/(a^2*b^3) + 1/18*(2*(-a*b^2)^(1/3)*b^2*c + (-a*b^2)^(1/3)*a*b*
f + (-a*b^2)^(2/3)*b*d + 2*(-a*b^2)^(2/3)*a*g)*log(x^2 + x*(-a/b)^(1/3) + (-a/b)^(2/3))/(a^2*b^3) - 1/9*(a*b^3
*d*(-a/b)^(1/3) + 2*a^2*b^2*g*(-a/b)^(1/3) + 2*a*b^3*c + a^2*b^2*f)*(-a/b)^(1/3)*log(abs(x - (-a/b)^(1/3)))/(a
^3*b^3)